Введение

Данное учебное пособие содержит краткие теоретические сведения по основным разделам метрологии : международная система единиц, погрешности результатов и средств измерений, случайные погрешности и обработка результатов измерения, оценка погрешности косвенных измерений, методы нормирования погрешностей средств измерений.

Приводятся основные определения и формулы, необходимые для решения задач. Типовые задачи снабжены пояснениями и развернутыми решениями; остальные задачи снабжены ответами для контроля правильности решения. Все физические величины задаются в международной системе единиц (СИ).

При решении задач необходимо выписывать формулы в буквенном выражении, подставлять в них числовые значения и после вычислений привести окончательный результат с указанием погрешности и единиц измерения.

Учебное пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу «Метрология» и других дисциплин, содержащих разделы метрологического обеспечения.

1. Международная система единиц (СИ)

1.1. Основные сведения

С 1 января 1982 года в нашей стране введен в действие ГОСТ 8.417-81 «ГСИ. Единицы физических величин», в соответствии с которым осуществлен переход на Международную систему единиц (СИ) во всех областях науки, техники, народного хозяйства, а также в учебном процессе во всех учебных заведениях.

Международная система СИ содержит семь основных единиц для измерения следующих величин:

Длинна: метр (м),

Масса: килограмм (кг),

Время: секунда (с),

Сила электрического тока: ампер (А),

Термодинамическая температура: кельвин (К),

Сила света: кандела (кд),

Количество вещества: моль (моль).

Производные единицы системы СИ (в количестве более 130) образуются с помощью простейших уравнений между величинами (определяющих уравнений), в которых числовые коэффициенты равны единице. Наряду с основными и производными единицами система СИ допускает использование десятичных кратных и дольных единиц, образованных умножением исходных единиц СИ на число 10 n , где n может быть положительным или отрицательным целым числом.

1.2. Задачи и примеры

1.2.1. Как выразится единица электрического напряжения (вольт, В) через основные единицы системы СИ?

Решение. Воспользуемся следующим уравнением для напряжения , где Р - мощность, выделяющаяся на участке цепи при протекании в ней тока I . Следовательно, 1 В - это электрическое напряжение, вызывающее в электрической цепи постоянный ток силой в 1 А при мощности в 1 Вт. Дальнейшие преобразования:

Таким образом получим соотношение, в котором все величины выражаются через основные единицы системы СИ. Следовательно, .

1.2.2. Как выражается единица электрической емкости (фарад, Ф) через основные единицы системы СИ?

Ответ: p>

1.2.3. Как выражается единица электрической проводимости (сименс, См) через основные единицы системы СИ?

1.2.4. Как выражается единица измерения удельного электрического сопротивления () через основные единицы системы СИ?

1.2.5. Как выражается единица измерения электрической индуктивности (генри, Гн) через основные единицы системы СИ?

где - остаточная погршеность.

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического

Оценки , , называются точечными.

На практике обычно используются интервальные оценки в виде доверительной вероятности и доверительных границ погрешности (доверительного интервала). Для нормального закона доверительная вероятность P(t) определяется с помощью интеграла вероятности Ф(t) (4.11) (функция табулизирована)

где - кратность случайной погрешности, - доверительный интервал.

Зная доверительные границы и , можно определить доверительную вероятность

Если доверительные границы и симметричны, т.е. , то и .

При малом числе измерений в ряде () используется распределение Стьюдента .

Плотность вероятности зависит от значения случайной погрешности и числа измерений в ряде n , т.е. . Доверительные границы Е в этом случае определяются

где - коэффициент Стьюдента (определяется из таблицы III приложения).

Доверительная граница и доверительная вероятность также зависит от числа измерений.

4.1.5. При статистической обработке результатов наблюдений выполняются следующие операции.

1. Исключение систематических погрешностей, введение поправок.

2. Вычисление среднего арифметического исправленных результатов наблюдений, которое принимается за оценку истинного значения измеряемой величины (формула 4.8).

3. Вычисление оценки СКП измерений () и среднего арифметического измерения () (формулы 4.9, 4.10).

4. Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдений.

5. Вычисление доверительных границ случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности 0,95 или 0,99 (формула 4.14).

6. Определение границ неисключенной систематической погрешности результата измерений.

7. Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения.

8. Запись результата измерений.

4.1.6. Проверка гипотезы о нормальности распределения осуществляется по критерию (Пирсона) или (Мизеса-Смирнова), если ; по составному критерию, если . При нормальность распределения не проверяется.

Если результаты наблюдений распределены нормально, то определяется наличие промахов. В таблице IV приложения указаны предельные значения коэффициента для различных значений теоретической вероятности появления большой ошибки, которую обычно называют уровнем значимости , при определенном объеме выборки. Процедура обнаружения промахов заключается в следующем. Строится вариационный ряд из результатов наблюдений . Определяется среднее арифметическое выборки () и СКП выборки (). Затем вычисляют коэффициенты

Полученные значения и сравнивают с для заданного уровня значимости q при заданном объеме выборки. Если или , то данный результат является промахом и должен быть отброшен.

4.1.7. Проверка согласия экспериментального распределения нормальному с помощью составного критерия осуществляется следующим образом. Выбирается уровень значимости q в пределах от 0,02 до 0,1.

Критерий 1. Производится сравнение вычисляемой по опытным данным величины d с теоретическими точками распределения и (приведены в таблице V приложения) и соответствующие нормальному закону распределения при заданном уровне значимости q 1 критерия 1.

Вычисление величины d производится по формуле:

Гипотеза о принадлежности данного ряда результатов наблюдений к нормальному закону распределений верна, если вычисленная величина d лежит в пределах

Критерий 2. Оценка по критерию 2 заключается в определении числа отклонений m э экспериментальных значений t э i от теоретического значения t т для заданного уровня значимости q 2 . Для этого при заданных q 2 и n находится параметр по данным из таблицы VI приложения.

параметра по формуле (4.18)

Вычисленное значение сравнивается с теоретическим значением и подсчитывается число отклонений , для которых удовлетворяется неравенство . Значение сравнивается с теоретическим числом отклонений , которое находится из таблицы VI приложения. Если , то распределение данного ряда наблюдений не противоречит нормальному.

Если соблюдаются оба критерия, то данный ряд подчиняется нормальному распределению. При этом уровень значимости составного критерия принимается равным .

4.1.8. Определение границ неисключенной систематической погрешности осуществляется по формуле:

где - граница i -й неисключенной систематической погрешности; - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью; при Р = 0,95 = 1,1.

В качестве границ неисключенной систематической погрешности можно принимать пределы допускаемых основной и дополнительной погрешностей средств измерений.

4.1.9. При вычислении доверительной границы погрешности результата определяют отношение . Если , то пренебрегают случайной погрешностью и принимают, что . Если , то границу погрешности находят путем суммирования случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины:

где К - коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешности;

Оценка СКП среднего арифметического.

Границы случайной и систематической погрешностей нужно выбирать при одной и той же доверительной вероятности.

4.1.10. Результат измерения записывается в виде .

4.2. Задачи и примеры

4.2.1. Погрешность результата измерения напряжения распределена равномерно в интервале от В до В.

Найдите систематическую погрешность результата измерения, среднюю квадратическую погрешность и вероятность того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от В до В (рис. 4.1).

Решение. Систематическая погрешность равна математическому ожиданию, которое для равномерного закона распределения определяется формулами (4.1, 4.5).

Средняя квадратическая погрешность определяется формулами (4.2, 4.3, 4.5).

Вероятность попадания погрешности в заданный интервал определяется из соотношения (4.4).

где - высота закона распределений.

Следовательно, .

4.2.2. Погрешность результата измерения тока распределена равномерно с параметрами мА, мА. Определите границы интервала погрешности и (рис. 4.1).

Ответ: мА; мА.

4.2.3. Погрешность результата измерения напряжения распределена по равномерному закону с параметрами с = 0,25 1/В, мВ. Определите границы интервала погрешности и (рис. 4.1).

Ответ: В; В.

4.2.4. Погрешность результата измерения тока распределена равномерно в интервале от мА; мА. Найдите систематическую погрешность результата измерения , среднюю квадратическую погрешность и вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в диапазоне от мА до мА.

Ответ: мА; мА; Р = 0,5.

4.2.5. Погрешность измерения мощности распределена по треугольному закону в интервале от Вт до Вт. Найдите систематическую погрешность результата измерения , среднюю квадратическую погрешность и вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от до Вт. (формулы 4.4, 4.6).

Ответ: ; Вт; Р = 0,28.

4.2.6. Для закона распределения погрешностей измерения напряжения, показанного на рис. 4.2, определите систематическую погрешность , среднюю квадратическую погрешность , если В. Найдите вероятность Р того, что погрешность результата измерения лежит в пределах от до Вт.

Ответ: В; В; Р = 0,25.Р мВт. Систематическая погрешность. Гц, равна (1- мА,

2. при наличии систематической погрешности воспользуемся формулой (4.12)

Следовательно, вероятность выхода погрешности за границы доверительного интервала:

1. q = 1 - 0,988 = 0,012; 2. q = 1 - 0,894 = 0,106.

4.2.19. Погрешность измерения сопротивления распределена по нормальному закону, причем средняя квадратическая погрешность Ом. Найдите вероятность того, что результат измерения сопротивления отличается от истинного значения сопротивления не более чем на 0,07 Ом, если:

1. Систематическая погрешность ;

2. Систематическая погрешность Ом.

Ответ: Р 1 = 0,92; Р 2 = 0,882.

4.2.20. Погрешность результата измерения напряжения распределена по нормальному закону со средней квадратической погрешностью мВ. Доверительные границы погрешности 4.2.22. Запишите закон распределения погрешностей, получаемый при суммировании пяти независимых составляющих с параметрами: математическое ожидание

Решение. Переведем значения границ доверительного интервала в абсолютные значения кГц или кГц. Доверительная вероятност

Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности.

К основным направлениям метрологии относятся:

Общая теория измерений;

Единицы физических величин и их системы;

Методы и средства измерений;

Методы определения точности измерений;

Основы обеспечения единства измерений и единообразия средств измерений;

Эталоны и образцовые средства измерений;

Методы передачи размеров единиц от эталонов и образцовых средств измерений рабочим средствам измерений.

Главным предметом метрологии является извлечение количественной информации о свойствах объектов и процессов с заданной точностью и достоверностью.

Средство измерения (СИ) – это совокупность средств измерений и метрологических стандартов, обеспечивающих их рациональное использование.

Структура метрологического обеспечения измерений.

Научная метрология, являясь базой измерительной техники, занимается изучением проблем измерения в целом и образующих измерение элементов: средств измерений (СИ), физические величины (ФВ) и их единицы, методы измерения, результаты, погрешности и т.д.

Нормативно-техническими основами метрологического обеспечения является комплекс гос. стандартов.

Организационной основой метрологич. обеспечения нашего государства является метрологич. служба РФ.

Гос. система обеспечения единства измерений устанавливает единую номенклатуру стандартных взаимоувязанных правил и положений, требований и норм, относящихся к организации, методике оценивания и обеспечения точности измерений.

2. Физические свойства и величины.

Физическая величина (ФВ) – свойство, общее в качественном отношении для множества объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого из них.

ФВ делят на измеряемые и оцениваемые .

Измеряемые ФВ можно выразить количественно определенным числом установленных единиц измерения.

Для оцениваемых ФВ по каким-либо причинам нельзя ввести единицу измерения, их можно лишь оценить.

По степени условной независимости от каких-либо величин различают основные, производные и дополнительные ФВ.

По размерности делятся на размерные и безразмерные.

ФВ бывают истинные , действительные , измеренные .

Истинное значение ФВ – значение, которое идеальным образом отображало бы в качественном и количественном отношении соответствующие свойства объекта.

Действительное значение ФВ – значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для определенной цели может быть использовано вместо него.

Измеренное значение ФВ – значение величины, отсчитанной по индикаторному устройству средства измерения.

Условие измерения – это совок-ть влияющих величин, описывающих состояние окружающей среды и средств измерения. 3 вида: нормальные, рабочие, предельные.

3. Международная система единиц.

Совок-ть основных и производных единиц ФВ, образованная в соответствии с принятыми принципами, называется системой единиц ФВ.

Основные характеристики системы СИ:

1) универсальность;

2) унификация всех областей и видов измерений;

3) возможность воспроизведения единиц с высокой точностью в соответствии с их определением с наименьшей погрешностью.

Основные единицы системы СИ.

1. длина (метр)

2. масса (кг)

3. время (сек)

4. сила электрического тока (ампер)

5. температура (Кельвин)

6. количество вещества (моль)

7. сила света (кондела)

2 дополнительные: плоский угол (радиан)

телесный угол (стерадиан)

Производные ФВ могут быть когерентными и некогерентными.

Когерентной наз-ют производную единицу величины, связанную с другими единицами системы уравнением, в котором числовой множитель равен 1. Все остальные производные единицы наз-ся некогерентными .

Единицы ФВ бывают кратные и дольные.

Формулой размерности называется математическое выражение, показывающее, во сколько раз изменится производная единица при определенных изменениях основных единиц. Для ознакомления с построением формул размерности полезно вначале рассмотреть случай, когда различные системы используют одни и те же основные величины и одни и те же определяющие соотношения. Такими системами, например, являются системы СГС и СИ, в которых для механических величин основными выбраны масса, длина и время. Эти системы отличаются только размером основных механических единиц.

Если с изменением основной единицы в n раз производная единиц и изменяется в n P раз, то говорят, что данная производная единица обладает размерностью р относительно основной единицы .

Простейший пример: размерность площади или объема для тех систем единиц, где основной является единица длины. Размерность площади равна двум, размерность объема - трем, т. к.

В более сложных случаях, если единица некоторой величины А имеет размерность р , q и r относительно единиц длины, массы и времени, то формула размерности записывается в виде:

где символы L , М и Т представляют собой обобщенные обозначения единиц длины, массы и силы без конкретного указания размера единиц. Это означает, что если каждую из основных единиц увеличить в 10 раз, то производная единица увеличивается в10 pqr раз.

Может оказаться, что размер производной единицы не зависит ни от одной из основных единиц. В этом случае говорят, что производная единица безразмерна или обладает нулевой размерностью. При любом выборе основных единиц формула размерности представляет собой одночлен, составленный из символов основных единиц, причем эти степени могут быть положительными, отрицательными, целыми или дробными .

При образовании формул размерности пользоваться следующими теоремами:

Теорема 1 . Если числовое значение величины С равно произведению числовых значений величин А и В, то размерность С равна произведению размерностей А и В, т. е.

(2.2)

Теорема 2 . Если числовое значение величины С равно отношению числовых значений А и В, то размерность С равна отношению размерностей А и В, т. е.

Теорема 3 . Если числовое значение величины С равно степени n числового значения величины А, то размерность С равна степени n размерности А, т. е.

(2.4)

Доказательства этих теорем очень просты, что можно проиллюстрировать доказательством первой из них.

Пусть числовое значение С равно произведению числовых значений А и В. При измерении их единицами c 1 , a 1 и b 1 имеем

(2.5)

где C 1 = С/c 1 ; A 1 = А/a 1 ; в, = в/b 1 .

Соответственно при измерении техже величин единицами c 2 , a 2 и b 2

(2.6)

где C 2 = С/c 2 ; A 2 = А/a 2 ; B 2 = В/b 2 .

Из сопоставления С, А и В, выраженных разными единицами, получаем:

(2.7)

Если теперь

(2.8)

(2.9)

(2.10)

что и требовалось доказать.

Аналогично нетрудно доказать и другие две теоремы. Важно отметить, что размерность не зависит от наличия или отсутствия в построении производной единицы постоянных безразмерных множителей или безразмерных величин. Это означает, например, что размерность площади квадрата

(2.11)

и площади круга

(2.12)

будут одинаковыми, поскольку коэффициент не зависит от размера основных единиц.

В заключение рассмотрения понятий размерности рассмотрим, какие изменения в формулах размерности произойдут при разном выборе основных единиц. Очевидно, что в этом случае в формулах размерности будут стоять совсем другие выражения, поскольку связь производных единиц, например в механике, существенно изменится при замене основной единицы массы на основную единицу силы. Например, обозначая размерность основной единицы системы МКГСС-силы символом F получим размерность массы:

(2.13)

Размерность энергии в системе МКГСС будет

(2.14)

Из этого выражения сразу становится понятной привлекательность системы МКГСС для механических расчетов, поскольку энергия столь просто за висит от основных единиц - силы и длины.

В заключение раздела, посвященному обзору различных систем единиц, упомянем, что размерность производных единиц не зависит от определения размера производной единицы. Например, если выражать площади плоских фигур в квадратных метрах, когда единицей площади выбирается площадь квадрата со стороной равной единице длины, а затем выразить ту же площадь в «круглых» метрах, т. е. единицу площади определить как площадь круга с диаметром, равным единице длины, то размерность площади при таком переопределении не изменится и будет равна .

Как указывалось выше, в систему СИ включено семь основных, т. е. выбранных произвольно, едини ц физических величин. Эти единицы и их обозначения приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Основные единицы международной системы СИ

Величина		Единицы СИ
Наименование	Размерность	Наименование единицы	Обозначение
			международное	русское
Длина	L	метр	m	м
Масса	M	килограмм	kg	кг
Время	T	секунда	S	с
Сила электрического тока	I	Ампер	A	А
Термодинамическая температура	Θ	Кельвин	K	К
Количество вещества	N	моль	mol	моль
Сила света	J	кандела	cd	кд

Основным единицам системы СИ были даны соответствующие определения. Рассмотрим более подробно каждую из этих единиц с пояснениями так называемой реализации, т. е. основных принципов независимого их воспроизведения в международных эталонах.

Метод «максимума-минимума» основан на предположении, что при сборке механизма возможно сочетание увеличивающих звеньев, изготовленных по наибольшим предельным размерам, с уменьшающими звеньями, изготовленными по наименьшим предельным размерам, или наоборот.

Этот метод расчета обеспечивает полную взаимозаменяемость в процессе сборки и эксплуатации изделий. Однако допуски составляющих размеров, вычисленные по этому методу, особенно для размерных цепей, содержащих много звеньев, могут получиться в техническом и экономическом отношениях неоправданно малыми, поэтому данный метод применяют для проектирования размерных цепей, имеющих малое число составляющих звеньев невысокой точности.

Первая задача

Номинальный размер замыкающего звена можно определить по формуле (см. пример первой задачи) .

Если принять общее количество звеньев цепи n , то количество составляющих будет n – 1 . Примем: m – количество увеличивающих звеньев, р – количество уменьшающих, тогда

n – 1 = m + p.

В общем виде формула для расчета номинального размера замыкающего звена будет такой:

(8.1)

Для примера (см. раздел 8.1)

А0 = А 2 – А1 = 64 – 28 = 36 мм.

На основании равенства (8.1) получим:

; (8.2)

. (8.3)

Вычтем почленно из равенства (8.2) равенство (8.3), получим:

.

Так как сумма увеличивающих и уменьшающих звеньев есть все составляющие звенья цепи, то полученное равенство можно упростить:

. (8.4)

Таким образом, допуск замыкающего звена равен сумме допусков всех составляющих звеньев в цепи.

Чтобы вывести формулы для расчета предельных отклонений замыкающего звена, вычтем почленно из равенства (8.2) равенство (8.1) и из равенства (8.3) равенство (8.1), получим:

; (8.5)

. (8.6)

Таким образом, верхнее отклонение замыкающего размера равно разности сумм верхних отклонений увеличивающих и нижних отклонений уменьшающих размеров; нижнее отклонение замыкающего размера равно разности сумм нижних отклонений увеличивающих и верхних отклонений уменьшающих размеров.

Для примера первой задачи (см. раздел 8.1) получим:

= 0,04 + 0,08 = 0,12 мм;

Таким образом,

Определим допуск замыкающего звена через полученные предельные отклонения:

Это значение совпадает с ранее найденным значением допуска, что подтверждает правильность решения задачи.

Вторая задача

При решении второй задачи допуски составляющих размеров определяют по заданному допуску замыкающего размера TA0 одним из следующих способов: равных допусков или допусков одного квалитета.

1. При решении способом равных допусков – на составляющие размеры назначают примерно равные допуски, руководствуясь средним допуском.

Итак, предполагаем, что

тогда сумма допусков всех составляющих размеров равна произведению числа составляющих звеньев на средний допуск, т.е.:

.

Подставим это выражение в равенство (8.4): , отсюда

. (8.7)

По найденному значению Tcp Ai устанавливают допуски на составляющие размеры, учитывая величину и ответственность каждого размера.

При этом должны быть выполнены следующие условия: принятые допуски должны соответствовать стандартным допускам, сумма допусков составляющих размеров должна равняться допуску замыкающего размера, т.е. должно выполняться равенство (8.4). Если при стандартных допусках равенство (8.4) не может быть обеспечено, то на один составляющий размер устанавливают нестандартный допуск, определяя его значение по формуле

. (8.8)

Способ равных допусков прост и дает хорошие результаты, если номинальные размеры составляющих звеньев размерной цепи находятся в одном интервале.

Решим пример второй задачи (см. раздел 8.1) способом равных допусков (8.7):

мм.

А1 = 215; TA1 = 0,04;

A2 = 60; TA2 = 0,04;

A3 = 155; TA3 = 0,04.

В этом примере равенство (8.4) соблюдается, и корректировать допуск одного из составляющих размеров нет необходимости.

Распишем равенство (8.5) для данного примера:

0,12 = 0,06 – (-0,03 – 0,03).

(Числовые значения предельных отклонений составляющих размеров выбраны условно.)

TA1 = 0,04, значит, Ei(A1) = +0,02;

Ei(A2) = -0,03; TA2 = 0,04, значит, Es(A2) = +0,01;

Ei(A3) = -0,03; TA3 = 0,04, значит, Es(A3) = +0,01.

Проверим соблюдение равенства (8.6):

0 = 0,02 – (0,01 +0,01);

Таким образом, получим ответ:

; ; .

2. Более универсальным и упрощающим подбор допусков при любом разнообразии размеров составляющих звеньев является способ допусков одного квалитета .

При этом способе на размеры всех составляющих звеньев (кроме корректирующего Aj ) назначают допуски из одного квалитета с учетом номинальных размеров звеньев.

Для вывода формулы исходной зависимостью служит равенство (8.4):

.

Однако допуск любого размера можно вычислить по формуле

где а – число единиц допуска, постоянное в пределах одного квалитета (табл. 8.1); - единица допуска зависит от номинального размера составляющего звена (табл. 8.2).

Таблица 8.1

Число единиц допуска

Квалитет		Квалитет		Квалитет		Квалитет

Значение единиц допуска

Интервалы размеров, мм	i , мкм	Интервалы размеров, мм	i , мкм
	1,86.; Выводы Так как допуск замыкающего звена зависит от числа составляющих размеров, то основное правило проектирования размерных цепей можно сформулировать так: при конструировании деталей, узлов сборочных единиц и механизмов необходимо стремиться к тому, чтобы число размеров, образующих размерную цепь, было минимальным. Это принцип кратчайшей размерной цепи. На чертежах указывают только составляющие размеры с предписанными отклонениями. Замыкающие размеры обычно получаются автоматически в результате обработки деталей или сборки, поэтому их не контролируют и на чертежах не обозначают. Проставлять на чертежах размеры замкнутыми цепочками не рекомендуется. Особенно недопустимо проставлять замыкающие размеры с отклонениями, так как при изготовлении детали это вызывает брак. В качестве замыкающих размеров следует принимать наименее ответственные размеры, которые могут иметь большие отклонения.

Похожие статьи